初中数学知识点总结

2020-05-212000

　　1 —次函数抛物线顶点式

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k(a=?0，k为常数，x=?h)

　　顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　顶点坐标_顶点坐标-解释

　　在二次函数的图像上

　　顶点式：y=a(x-h)^2;+k抛物线的顶点P(h，k)

　　顶点坐标：对于二次函数y=ax^2;

　　+bx+c其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2;)/4a)

　　02 二次函数口诀速记

　　二次方程零换y，二次函数便出现。

　　全体实数定义域，图像叫做抛物线。

　　抛物线有对称轴，两边单调正相反。

　　A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

　　顶点非高即最低。上低下高很显眼。

　　如果要画抛物线，平移也可去描点，

　　提取配方定顶点，两条途径再挑选。

　　列表描点后连线，平移规律记心间。

　　左加右减括号内，号外上加下要减。

　　二次方程零换y，就得到二次函数。

　　图像叫做抛物线，定义域全体实数。

　　A定开口及大小，开口向上是正数。

　　绝对值大开口小，开口向下A负数。

　　抛物线有对称轴，增减特性可看图。

　　线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

　　如果要画抛物线，描点平移两条路。

　　提取配方定顶点，平移描点皆成图。

　　列表描点后连线，三点大致定全图。

　　若要平移也不难，先画基础抛物线，

　　顶点移到新位置，开口大小随基础。

　　【注】基础抛物线

　　03 二次函数顶点坐标公式推导

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a=?0)

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k

　　【抛物线的顶点P(h，k)】

　　对于二次函数y=ax^2+bx+c

　　其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　推导：

　　y=ax^2+bx+c

　　y=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a

　　顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　04 相似三角形

　　①相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小

　　(1)理解相似形的概念;

　　(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

　　②平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理

　　理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

　　注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

　　③相似三角形的概念

　　以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

　　④考点：相似三角形的判定和性质及其应用

　　熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。

　　⑤三角形的重心

　　知道重心的定义并初步应用.

　　⑥向量的有关概念

　　⑦向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算

　　掌握实数与向量相乘、向量的线性运算

　　05 有理数的分类、大小比较和运算

　　(1)按有理数的定义：

　　正整数、0、负整数统称为整数;

　　正分数和负分数统称为分数;

　　整数和分数统称为有理数。

　　整数：

　　①正整数：1，2，3，...;

　　②零：0;

　　③负整数：-1，-2，...;

　　分数：

　　①正分数：0.15，...;

　　②负分数：-0.15，...;

　　(2)按有理数的性质分类：

　　正有理数：

　　①正整数：1，2，3，...;

　　②正分数：0.15，...;

　　零：0;

　　负有理数：

　　负整数：-1，-2，...;

　　负分数：-0.15，...;

　　注意：

　　(1) 无限循环小数可以写成分数形式，所以是有理数。

　　(2)所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，所有整数组成整数集合，所有有理数组成有理数集合。

　　(3)正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。

　　有理数的大小比较：

　　1.正数>0>负数;

　　2.两个负数比较：

　　①右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

　　②绝对值大的反而小。

　　有理数的运算

　　1.有理数的加法：

　　加法一般步骤：

　　①确定符号：同号取相同的符号。

　　异号取绝对值大的加数的符号。

　　②确定绝对值:同号将绝对值相加。

　　异号用较大的绝对值减去较小的绝对值。

　　互为相反数的两个数相加得0。一个数与0相加，仍得这个数。

　　用字母表示加法的交换律a+b=b+a;加法结合律a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。

　　三个或三个以上有理数相加，可以写成这些数的连加式，对于连加式，根据加法

　　交换律和加法结合律，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的某几个数相加。

　　根据算式的特征，恰当地运用运算律，可以使运算简便：

　　①符号相同的数先相加--同号结合法

　　②互为相反数的先相加--相反数结合法

　　③分母相同的数先相加--同分母结合法

　　④正数与正数，小数与小数相加--同形结合法

　　2.有理数的减法：

　　减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

　　加减法混合运算，把减法转化为加法再计算。

　　3.代数和：

    有理数加减混合运算时，将加减法统一成加法运算，转化为求几个正数或负数的和。

　　在一个和式中，可以把各个加数的括号和括号前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

　　4.有理数的乘法：

　　乘法步骤：

　　1、确定符号：同号正，异号负。

　　2、绝对值：求积。

　　任何数与0相乘，都得0。任何数与-1相乘都得这个数的相反数。

　　多个有理数相乘的运算：

　　几个非0有理数相乘时，当负因数个数是偶数时，积为正;

　　负因数个数是奇数时，积为负;

　　乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律;

　　5.有理数的除法：

　　除法步骤：

　　1、确定符号：同号正，异号负。

　　2、绝对值：相除。

　　除以一个不等于0的数等于乘上这个数的倒数。

　　0除以任何一个不等于0的数都得0。

　　06 二次根式的应用知识点总结

　　二次根式的应用主要体现在两个方面：

　　①利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题;

　　②利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。

　　这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

　　常见用法：

　　(1)设计一些规律探索问题提高学生的想象力和创造力;

　　(2)联系生活实际设计一些方案探究题。

　　误区提醒：

　　(1)不能通过观察，归纳、猜想寻找出共同的规律，并运用这种规律解决问题;

　　(2)不会应用数学的知识解决实际生活中的问题。

　　07 角平分线的性质及判定

　　性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

　　判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

　　08 三角形的稳定性

　　我们在学习三角形的知识中，老师经常会提到的一句话就是：三角形具有稳定性。

　　稳定性证明：

　　任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。

　　∵ 第三条边不可伸缩或弯折 ，

　　∴ 两端点距离固定 ，

　　∴ 这两条边的夹角固定;

　　∵ 这两条边是任取的 ，

　　∴ 三角形三个角都固定，进而将三角形固定，

　　∴ 三角形有稳定性 。

　　任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接

　　∴ 两端点距离不固定 ，

　　∴ 这两边夹角不固定 ，

　　∴ n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性。

　　如果不看上面的证明过程，我们就没有办法清晰的理解三角形稳定性的所有定理。

　　09 全等图形与三角形

　　1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。

　　2.全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

　　3.全等三角形： 三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

　　说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等;全等三角形的周长，面积也都相等。

　　这里要注意：

　　(1)周长相等的两个三角形，不一定全等;

　　(2)面积相等的两个三角形，也不一定全等。

　　10 相反数

　　①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。0的相反数是0。

　　②a的相反数-a

　　③a与b互为相反数:a+b=0

　　④a-b的相反数是:-a+b或b-a

　　⑤a+b的相反数是:-a-b

　　⑥求一个数的相反数方法:在这个数的前面加“-”号.

　　⑦在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

　　11 绝对值

　　1.几何意义：从数轴上表示a的点到原点的距离即为︱a︱

　　2. ①一个正数的绝对值等于它本身;当a是正数时，︱a︱=a;

　　②一个负数的绝对值等于它的相反数; 当a是负数时，︱a︱=-a;

　　③0的绝对值等于0。 当a=0时，︱a︱=0。

　　3.互为相反数的两个数的绝对值相等。

　　12 倒数

　　①乘积是1的两个数叫作互为倒数。

　　②a的倒数是a分之1(a=?0)

　　③a与b互为倒数 ab=1

　　④正数的倒数还是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数。

　　13 乘方

　　①求几个相同因数的积的运算叫做乘方

　　a^a^…^a=a^n

　　②底数、指数、幂

　　14 轴对称

　　轴对称的定义：

　　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

　　轴对称的性质：

　　(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分;

　　(2)对应线段相等，对应角相等;

　　(3)关于某直线对称的两个图形是全等图形。

　　轴对称的判定：

　　如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

　　这样就得到了以下性质：

　　1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

　　4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

　　轴对称作用:

　　可以通过对称轴的一边从而画出另一边。

　　可以通过画对称轴得出的两个图形全等。

　　扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

　　轴对称的应用

　　关于平面直角坐标系的X,Y对称意义

　　如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。

　　相反的，如果有两点关于直线Y对称，那么点A的横坐标为相反数，纵坐标不变。

　　关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式)

　　设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c

　　则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a

　　在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。

　　譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线;

　　矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线;

　　正方形，菱形问题经常添设对角线等等。

　　另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。