八年级数学上册勾股定理单元测试卷

2019-01-261580

　　八年级数学上册《第1章 勾股定理》单元测试卷

　　一、选择题

　　1.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是(　　)

　　A.如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形

　　B.如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°

　　C.如果(c+a)(c﹣a)=b2，则△ABC是直角三角形

　　D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形

　　2.下列各组数的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是(　　)

　　A.1，2，3 B.32，42，52 C. ， ， D.0.3，0.4，0.5

　　3.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(　　)

　　A.90 B.100 C.110 D.121

　　4.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为(　　)

　　A.18 B.9 C.6 D.无法计算

　　5.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是(　　)

　　A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2

　　C.b2+c2=a2 D.以上关系都有可能

　　6.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为(　　)

　　A.42 B.32 C.42或32 D.37或33

　　二.填空题

　　7.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC=　　.

　　8.小强在操场上向东走200m后，又走了150m，再走250m回到原地，小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是　　.

　　9.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于　　.

　　三.解答题

　　10.如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求AC.

　　11.如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯.点D到灯E的距离是多少?

　　12.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，

　　NC= m，BN= m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长.

　　13.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?

　　14.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=13，求AD的长.

　　15.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.

　　北师大新版八年级数学上册《第1章 勾股定理》2016年单元测试卷

　　参考答案与试题解析

　　一、选择题

　　1.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是(　　)

　　A.如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形

　　B.如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°

　　C.如果(c+a)(c﹣a)=b2，则△ABC是直角三角形

　　D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形

　　【考点】KS：勾股定理的逆定理;K7：三角形内角和定理.

　　【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理.

　　【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确;

　　B、解得应为∠B=90度，故错误;

　　C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确;

　　D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确.

　　故选B.

　　【点评】本题考查了直角三角形的判定.

　　2.下列各组数的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是(　　)

　　A.1，2，3 B.32，42，52 C. ， ， D.0.3，0.4，0.5

　　【考点】KS：勾股定理的逆定理.

　　【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断.

　　【解答】解：∵0.32+0.42=0.25，0.52=0.25，

　　∴0.32+0.42=0.52，

　　∴0.3，0.4，0.5能构成直角三角形的三边.

　　故选D.

　　【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是记住勾股定理的逆定理的解题格式，属于中考常考题型.

　　3.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(　　)

　　A.90 B.100 C.110 D.121

　　【考点】KR：勾股定理的证明.

　　【专题】1 ：常规题型;16 ：压轴题.

　　【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解.

　　【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

　　所以四边形AOLP是正方形，

　　边长AO=AB+AC=3+4=7，

　　所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，

　　因此矩形KLMJ的面积为10×11=110.

　　故选：C.

　　【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键.

　　4.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为(　　)

　　A.18 B.9 C.6 D.无法计算

　　【考点】KQ：勾股定理.

　　【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值.

　　【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，

　　∴AB2+AC2=BC2，

　　∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18.

　　故选A.

　　【点评】本题考查了勾股定理.正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键.

　　5.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是(　　)

　　A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2

　　C.b2+c2=a2 D.以上关系都有可能

　　【考点】KQ：勾股定理.

　　【分析】根据勾股定理，分∠C是直角，∠B是直角，∠A是直角，三种情况讨论可得a，b，c之间的关系.

　　【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，

　　∠C是直角，则有a2+b2=c2;

　　∠B是直角，则有a2+c2=b2;

　　∠A是直角，则有b2+c2=a2.

　　故选：D.

　　【点评】考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

　　6.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为(　　)

　　A.42 B.32 C.42或32 D.37或33

　　【考点】KQ：勾股定理.

　　【分析】本题应分两种情况进行讨论：

　　(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出;

　　(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出.

　　【解答】解：此题应分两种情况说明：

　　(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，

　　BD= = =9，

　　在Rt△ACD中，

　　CD= = =5

　　∴BC=5+9=14

　　∴△ABC的周长为：15+13+14=42;

　　(2)当△ABC为钝角三角形时，

　　在Rt△ABD中，BD= = =9，

　　在Rt△ACD中，CD= = =5，

　　∴BC=9﹣5=4.

　　∴△ABC的周长为：15+13+4=32

　　∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.

　　故选C.

　　【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度.

　　二.填空题

　　7.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC=　24　.

　　【考点】KQ：勾股定理;K3：三角形的面积.

　　【分析】直接利用勾股定理结合已知得出关于b的等式，进而求出答案.

　　【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，

　　∴a=14﹣b，则(14﹣b)2+b2=c2，

　　故(14﹣b)2+b2=102，

　　解得：b1=6，b2=8，

　　则a1=8，a2=6，

　　即S△ABC= ab= ×6×8=24.

　　故答案为：24.

　　【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出直角边长是解题关键.

　　8.小强在操场上向东走200m后，又走了150m，再走250m回到原地，小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是　北或南　.

　　【考点】KU：勾股定理的应用.

　　【分析】据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案.

　　【解答】解：解：如图，AB=200米，BC=BD=150米，AC=AD=250米，

　　根据2002+1502=2502得：∠ABC=∠ABD=90°，

　　∴小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是向北或向南，

　　故答案为：向北或向南.

　　故答案为北或南

　　【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形，难度中等.

　　9.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于　2π　.

　　【考点】KQ：勾股定理.

　　【专题】11 ：计算题.

　　【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积.

　　【解答】解：S1= π( )2= πAC2，S2= πBC2，

　　所以S1+S2= π(AC2+BC2)= πAB2=2π.

　　故答案为：2π.

　　【点评】此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理.

　　三.解答题

　　10.如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求AC.

　　【考点】KQ：勾股定理.

　　【分析】由已知可以利用勾股定理求得EC的长，从而可得到CD的长，再根据勾股定理求得AC的长即可.

　　【解答】解：∵AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，

　　∴EC= =12，

　　∵DE=7，

　　∴CD=5，

　　∴AC= =12.

　　【点评】此题考查学生对直角三角形的性质及勾股定理的运用.

　　11.如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯.点D到灯E的距离是多少?

　　【考点】KU：勾股定理的应用.

　　【分析】在Rt△ABD中求出BD，然后在Rt△EBD中利用勾股定理即可得出DE的长度.

　　【解答】解：在Rt△BAD中，∠BAD=90°， 米，

　　在Rt△EBD中，∠EBD=90°， 米.

　　故点D到灯E的距离是17米.

　　【点评】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式.

　　12.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，

　　NC= m，BN= m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长.

　　【考点】KU：勾股定理的应用.

　　【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△BCN的形状，再由勾股定理即可得出结论.

　　【解答】解：∵BC=1m，NC= m，BN= m，

　　∴BC2=1，NC2= ，BN2= ，

　　∴BC2+NC2=BN2，

　　∴AC⊥MC.

　　在Rt△ACM中，

　　∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25，

　　∴MA=7.5 m.

　　【点评】本题考查的是勾股定理的应用，先根据题意判断出AC⊥MC是解答此题的关键.

　　13.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?

　　【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题.

　　【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答.

　　【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：

　　∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

　　∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，

　　在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

　　∴AB= = =25;

　　只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：

　　∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

　　∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，

　　在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

　　∴AB= = =5 ;

　　只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：

　　∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

　　∴AC=CD+AD=20+10=30，

　　在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：

　　∴AB= = =5 ;

　　∵25<5 ，

　　∴蚂蚁爬行的最短距离是25.

　　【点评】本题主要考查两点之间线段最短.

　　14.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=13，求AD的长.

　　【考点】PB：翻折变换(折叠问题).

　　【分析】由折叠得：∠EAC=∠BAC，AE=AB=18，根据平行线性质得：AF=FC=13，再求出EF=5，利用勾股定理求出EC的长，即AD的长.

　　【解答】解：由折叠得：∠EAC=∠BAC，AE=AB=18，

　　∵四边形ABCD为长方形，

　　∴DC∥AB，

　　∴∠DCA=∠BAC，

　　∴∠EAC=∠DCA，

　　∴FC=AF=13，

　　∵AB=18，AF=13，

　　∴EF=18﹣13=5，

　　∵∠E=∠B=90°，

　　∴EC= =12，

　　∵AD=BC=EC，

　　∴AD=12.

　　【点评】本题是折叠问题，考查了长方形、折叠的性质，难度不大;属于常考题型，熟练掌握折叠前后的两个对应角相等;与平行线的内错角相等得出等腰三角形，根据等角对等边，求出边的长，利用勾股定理解决问题.

　　15.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.

　　【考点】KR：勾股定理的证明.

　　【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，化简整理得到勾股定理.

　　【解答】解：由图可得：

　　正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，

　　即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，

　　∴b2= c2+ ，

　　整理得：a2+b2=c2.

　　【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的证明方法有很多种，一般采用拼图的方法证明.在解题时注意：先利用拼图的方法拼图，然后再利用面积相等，证明勾股定理.