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2019-08-041240
什么是向量
在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。
向量垂直公式
a,b是两个向量
a=(a1,a2) b=(b1,b2)
a//b:a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数
a垂直b:a1b1+a2b2=0
证明:
①几何角度:
向量A (x1,y1),长度 L1 =√(x1²+y1²)
向量B (x2,y2),长度 L2 =√(x2²+y2²)
(x1,y1)到(x2,y2)的距离:D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]
两个向量垂直,根据勾股定理:L1² + L2² = D²
∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²
∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²
∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2
∴ x1x2 + y1y2 = 0
②扩展到三维角度:
x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,
那么向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)垂直
综述,对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是:L1×L2=0 成立。
平面向量加法公式
已知向量AB、BC,再作向量AC,则向量AC叫做AB、BC的和,记作AB+BC
即有:AB+BC=AC。
用坐标表示时,显然有:AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。
这就是说,两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
三角形法则:AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则,简记为:首尾相连、连接首尾、指向终点。
四边形法则:已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB,以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB,则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则,简记为:共起点 对角连。
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
向量的加法满足所有的加法运算定律,如:交换律、结合律。
平面向量减法公式
AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则
简记为:共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。
平面向量数乘公式
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa。
当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,
当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,
当λ = 0时,λa=0。
用坐标表示的情况下有:λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)
设λ、μ是实数,那么满足如下运算性质:
(λμ)a= λ(μa)
(λ + μ)a= λa+ μa
λ(a±b) = λa± λb
(-λ)a=-(λa) = λ(-a)
|λa|=|λ||a|
平面向量数量积公式
已知两个非零向量a、b,那么a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积,记作a·b。
零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2
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